如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.
理由:连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴A、C关于对角线BD对称,
∵点G在BD上,
∴GA=GC,
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四边形EGFC是矩形,
∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,
∴AG2=GF2+GE2.
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,
使得AM=BM.设AN=x.
∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,
∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,
∴∠AMN=30°,
题干分析:
(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得方程2,解得x=的值,推出BN的值,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题;
解题反思:
本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型。
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